Fórmulas simplificadas de Molodensky
Clássicos
A determinação de posições precisas sobre a superfície terrestre através dos métodos
clássicos em Geodésia tradicionalmente implicou na necessidade de adoção de dois SGRs
um horizontal e outro vertical. O SGR vertical fornece a referência para a determinação
precisa da componente altimétrica do SGB (Sistema Geodésico Brasileiro), enquanto o SGR
horizontal fornece a referência para a determinação precisa das componentes planimétricas
(latitude e longitude).
Um SGR horizontal é tradicionalmente definido por um elipsóide e seu posicionamento
no espaço. Este elipsóide é escolhido de forma a garantir uma boa adaptação ao geóide na
região. Os parâmetros definidores do sistema normalmente estão vinculados a um ponto na
superfície terrestre, denominado de ponto origem. O centro deste elipsóide não coincide com
o centro de massa da Terra – o geocentro, devido ao requisito de boa adaptação na região de
interesse.
As metodologias de levantamentos utilizadas na materialização de um SGR clássico horizontal,
foram a triangulação e a poligonação. Os sistemas Córrego Alegre, Chuá Astro-Datum e o SAD69,
são exemplos de SGR de concepção clássica.
Modernos
Um referencial (ou sistema) geodésico moderno apresenta as seguintes características:
sua definição pressupõe a adoção de um elipsóide de revolução cuja origem coincide com o
centro de massa da Terra e com eixo de revolução coincidente com o eixo de rotação da Terra.
A sua materialização se dá mediante o estabelecimento de uma rede de estações geodésicas com
coordenadas tridimensionais. Estas coordenadas são estabelecidas através de técnicas de
posicionamento espacial de alta precisão. Sendo assim, as medidas estão relacionadas a um
sistema cartesiano tridimensional (3D) com origem no geocentro (IBGE,2000).
Geocêntrica
Eixo de rotação paralelo ao eixo de rotação da Terra, onde a origem está localizada no centro
de massa da Terra.
Topocêntrica
O centro do elipsóide (ou origem dos eixos) não está localizado nocentro de massa da Terra, mas
sim no ponto de origem (vértice) escolhido.
Historicamente, no Brasil já foram oficialmente adotados quatro referenciais geodésicos:
Córrego Alegre
Na década de 50 foi adotado o Sistema Geodésico Córrego Alegre, o qual tinha como vértice o
ponto Córrego Alegre e o elipsóide Internacional de Hayford de 1924 como superfície de
referência, sendo seu posicionamento e orientação determinados astronomicamente.
Coordenadas:
A partir de estudos gravimétricos na região do ponto Córrego Alegre, foi escolhido um novo
ponto, no vértice de Chuá. Este sistema foi estabelecido pelo IBGE em caráter provisório, como
um ensaio para a implantação do Datum SAD69. Foram ignoradas as componentes do desvio da vertical
no processo de ajustamento das coordenadas do Datum.
SAD69
O sistema geodésico SAD69 foi oficialmente adotado no Brasil em 1979. A imagem geométrica da
Terra é definida pelo Elipsóide de Referência Internacional de 1967, aceito pela Assembléia Geral
da Associação Geodésica Internacional que teve lugar em Lucerne, no ano de 1967.
O referencial altimétrico coincide com a superfície equipotencial que contém o nível médio
do mar, definido pelas observações maregráficas tomadas na baía de Imbituba, no litoral do
Estado de Santa Catarina.
Foram determinados os parâmetros topocêntricos das componentes do desvio da vertical e
ondulação geoidal no vértice Chuá.
Coordenadas
Em 1996 foi concluído pelo IBGE o reajustamento da rede geodésica brasileira, utilizando-se
das novas técnicas de posicionamento por satélites GPS. Juntamente com as observações GPS
também participaram do reajustamento os pontos da rede clássica. A ligação entre as duas
redes foi feita através de 49 estações da rede clássica, as quais foram observadas por GPS.
Esse ajustamento forneceu também o desvio padrão das coordenadas das estações.
WGS84
O WGS84 é a quarta versão do sistema de referência geodésico global estabelecido pelo
Departamento de Defesa Americano (DoD) desde 1960 com o objetivo de fornecer posicionamento
e navegação em qualquer parte do mundo. Ele é o sistema de referência das efemérides
operacionais do sistema GPS. Daí a importância do WGS84 frente aos demais sistemas de
referência.
No Brasil, os parâmetros de conversão entre SAD69 e WGS84 foram apresentados oficialmente
pelo IBGE em 1989. Uma das principais características do WGS84 diante do SAD69 é este ser um
sistema geocêntrico, ao contrário do sistema topocêntrico do SAD69.
SIRGAS
O SIRGAS (Sistema de Referência Geocêntrico para a América do Sul) foi criado em outubro
de 1993, contando com a participação dos países da América do Sul, representados por suas
agências nacionais, tendo como principal objetivo estabelecer um sistema de referência geocêntrico
para a América do Sul. A adoção do SIRGAS segue uma tendência atual, tendo em vista as
potencialidades do GPS e as facilidades para os usuários, pois, com esse sistema geocêntrico,
as coordenadas obtidas com GPS, relativamente a esta rede, podem ser aplicadas diretamente
aos levantamentos cartográficos, evitando a necessidade de transformações e integração entre
os dois referenciais (Dalazoana; Freitas. 2000).
Utilizando a concepção de um Sistema de Referência Moderno, onde a componente "tempo" é a
acrescentada, as coordenadas e vetor velocidades dos vértices são referidos a uma determinada
época. O elipsóide utilizado é o GRS-80 (Geodetic Reference System 1980), sendo considerado
idêntico ao WGS84 em questões de ordem prática, como é o caso do mapeamento. As constantes
dos dois elipsóides são idênticas, com exceção de uma pequena variação no achatamento
terrestre (f WGS84= 1/298.257223563, f GRS80= 1/298.257222101).
O pós-processamento de um rastreio GPS realizado com efemérides precisas, proporcionam
coordenadas em ITRFyy e ou SIRGAS, dependendo da estação de referência (ou injunção) no
posicionamento relativo for ITRF e ou SIRGAS, res-pectivamente. Nos demais casos, como por
exemplo, no posicionamento diferencial pós-processado com efemérides operacionais e o
posicionamento em tempo real, as coordenadas resultantes estarão referidas ao WGS84.
No Brasil, fazem parte das estações SIRGAS, 9 estações da RBMC (Rede Brasileira de
Monitoramento Contínuo). Foi oficialmente adotado como Referencial Geodésico Brasileiro
em 2005, através da Resolução do Presidente do IBGE N°1/2005, onde é alterada a caracterização
do Sistema Geodésico Brasileiro, estando atualmente em um período de transição de 10 anos,
onde o SAD69 ainda poderá ser utilizado pela comunidade, com a recomendação de que novos
trabalhos sejam feitos já nonovo sistema(Resolução do RJ, IBGE).
MÉTODOS DE TRANSFORMAÇÃO ENTRE SISTEMAS
A Resolução do IBGE N°22, de 21/07/83, estabeleceu para o Sistema Geodésico Brasileiro (SGB),
as fórmulas oficiais de transformação entre os Sistemas Geodésicos usados no Brasil e os
respectivos parâmetros de transformação entre alguns dos Sistemas de Referência.
A partir dos parâmetros fornecidos vale ressaltar que o elipsóide adotado para o SAD 69
difere do Elipsóide de Referência 1967, pois este tem o achatamento igual a 1/298,247 167 427.
Fórmulas Simplificadas de Molodensky
Como modelo matemático são apresentadas as equações diferenciais simplificadas de Molodensky,
Este método utiliza 5 parâmetros (3 parâmetros de translação e as diferenças entre os semi-eixos
maior e achatamento dos dois sistemas), aplicando a transformação diretamente nas coordenadas
curvilíneas so sistema de origem.
Fórmulas simplificadas de Molodensky
Com a publicação da Resolução do IBGE N°23, de 21/02/89, entre outras alterações,
são apresentados os parâmetros de transformação oficiais entre SAD69 e o WGS84 e introduzida
a fórmula dos Três Parâmetros como método de transformação oficial. O modelo matemático consiste
da aplicação dos 3 parâmetros de translação nos eixos cartesianos geocêntricos do sistema de
referência de origem. As coordenadas são inicialmente convertidas para cartesianas, onde são
aplicados os parâmetros e após são convertidas novamente em coordenadas geodésicas.
Fórmula dos 3 Parâmetros
Apesar de não oficiais no Brasil, as fórmulas completas de Molodensky fornecem uma maior precisão
ao processo de transformação de coordenadas. Nos dias de hoje, com a facilidade de implementação
destas fórmulas, vale a pena sua utilização frente, por exemplo, às fórmulas apresentadas na resolução
do IBGE N°22, de 21/07/83.
Fórmulas Completas de Molodensky (Pierozzi,1989)